Rezolvare Evaluare Nationala Testul 34
Subiectul 1.
1.Rezultatul calculului 0,3*100–300:10= 0. (REZOLVARE)
2.15 minute reprezinta 25% dintr-o ora. (REZOLVARE)
Note: Folosind regula de 3 simpla: Impartim 60 la 100 si inmultim cu 15.
3. Multime solutiilor incuatiei 2x-1 ≤ 5 este intervalul (-∞ ; 3]. (REZOLVARE)
4.Aria unui romb cu diagonalele de lungimi 10 cm , respectiv 8 cm este egala cu 40 cm2.(REZOLVARE)
Note: Folosind formula ariei in romb inmultim d1 cu d2 si impartim la 2.
5.Un cilindru circular drept are raza bazei 10 cm si generatoarea 5 cm. Aria totala a cilindrului este egala cu 300 Πcm2 .(REZOLVARE)
Note: Atotala= Alaterala + 2Abaza = 2πRG + 2πR²= 100π +200π = 300π
6.Repartitia culturilor pe o suprafata de 144 ha este reprezentata in diagrama alaturata. Suprafata cultivata cu rapita este de 98 ha.
Note :Rapita reprezinta 2/3 din aria cercului
=> Arapita = 2/3 *144 =98
Subiectul 2
- Desenati pe foaia de examen, un cub ABCDD’C’B’A’
Note: Notearea cubului cu litere ABCDD’C’B’A’
2. Determinati numerele intregi x cu proprietatea ca 2x + 1 / x -2 este un numar intreg
x ∈ Z cu proprietatea ca 2x-1/x-2 ∈ Z
2x+1/x-2 => x-2|x-2 & x-2 | 2x + 1 => x-2|(2x-4)-(2x+1) => x-2|5
=>x-2 ∈ D5 ∈{-5 ; -1 ; 1 ;5} => x ∈ {-3 ; 1 ;3 ;7}
Raspuns : x ∈ {-3, 1, 3, 7}
Note: |= “divide pe”
3. Lungimea pasului este de 75 cm, iar lungimea pasului fiului este de 50 cm. Ei merg impreuna pe o distanta de 3 km. Cu cati pasi face mai mult fiul decat tatal sau ?
lungime pas tata= 75 cm & lungime pas fiu = 50 cm
Transformam 3km in cm => 3km = 300000cm
Aflam numarul de pasi facut de copli si de tata=> 300000 : 75 = 4000 (nr de pasi facut de tata) 300000 : 50 = 6000 (nr de pasi facut de fiu)
Scadem din numarul pasilor fiului numarul pasilor tatalui => 6000–4000=2000 => Fiul face cu 2000 mai multi pasi decat tatal.
4.Se considera f:R ->R, f(x)= 3x-3.
a) Reprezentati grafic functia intr-un sistem de coordonate xOy.
b)Determinati coordonatele punctului de intersectie dintre graficele functiilor f si g, unde g : R ->R, g(x) = 1-x
a)Aflam punctele de intersectie ale graficului Gf cu axele Ox si Oy si trasam graficul functiei.
b)Aflam punctul de intersectia al graficelor Gf si Gg printr-un sistem de ecuatii.
5.Determinati numerele reale a si b, stiind ca a² + b² -2a +6b +10 = 0
Descompunem numarul 10 in 9 +1 , => a² -2a +1 + b² + 6b+ 9= 0
printr-o restrangere => (a-1)² + (b+3)² = 0. Avand o suma a doua patrate, iar aceste fiind mai mari sau egale cu 0 => (a-1)² = 0 =>a-1 =0 => a= 1
=> (b+3)²=0 =>b+3 = 0 => b= -3
Note: Patratul unui numar este tot timpul pozitiv.
Subiectul 3
1.In figura 1este reprezentat rombul ABCD avand BD = 32 cm si PABCD=16√17 cm iar punctul M este situat astfel incat A este mijlocul lui [MC].
a) Aratati ca AC = 8cm
b)Demonstrati ca MD este media aritmetica a lungimilor diagonalelor rombului
c)Daca {P} = AD∩MB si {Q} = AB∩MD, aflati lungimea segmentului PQ
a)Fie AC∩BD = {O} => OD = BD/2 = 16cm
AD=DC=CB=AB=16√17/4= 4√17.
Folosind teorema lui pitagora in triunghiul AOD => AD² = AO²- -OD²= (4√17)²- 16² = 16*17- 16*16 = 16(17–16)
=>AO=√16=4cm
AC = AO*2=4*2=8cm.
b)Daca A este mijloc de MC => MC = AC*2 = 8*2=16cm
MO = MC-OC=16–4=12cm
In triunghiul MOD folosim teorema lui pitagora => MD²=MO²+OD²=12² +16² = 144 + 256 = 400
MD=√400=20
Media aritmetica a lungimii diagonalelor rombului este egala cu (AC + BD )/2 =(32+8)/2=20 cm => MD este egal cu media aritmetica a lungimilor diagonalelor
Note : La subpunctul “c”trebuie observate niste amanunte ce simplifica enorm problema: in triunghiul MBD se observa ca punctul A se afla pe mediana MO, la 2/3 din MO si AD la 1/3 din MO, deci punctul A reprezinta centrul de greutate al triunghiului , adica intersectia medianelor.
c)MA = 2/3*MO ; AD=1/3*MO =>{A} este centrul de greutate al triunghiului => {A} este intersectia medianelor.=> {P} este mijloc de MB ; {Q} este mijloc de MD
=> PQ este linie mijlocie in triunghi => PQ= BD/2=32/2=16 cm.
2. In figura 2 este reprezentata o prisma triunghiulara regulata ABCC’B’A’. Punctele M si N sunt mijloacele muchiilor A’B’, respectiv A’C’. Se stie ca AB=4, iar aria laterala a prismei este 48√2 cm².
a)Aratati ca volumul prismei este 16√6cm²
b)Calculati perimetrul BCMN
c)Determinati tangenta unghiului format de planele (BCC’) si (MBC).
a)AB=AC=BC=A’B’=A’C’=B’C’=4
Alat= Pb*h=3l*h =12*h=48√2 => h = 48√2 : 12 = 4√2
Vprismei = Ab * h= l²√3/4=16√3/4 * 4√2 = 16√6/6 cm²
b)In triunghiul A’B’C’ punctul M este mijloc de A’B’ ,iar punctul N este mijloc de A’C’ => MN este linie mijlocie in triunghi => MN =B’C’/2 = 4/2 = 2cm
Folosind teorema lui pitagora in triunghiul MB’B=> MB² = M’B’+BB’²= 2²+(4√2)²= 4+16*2=36
=> MB = √36 = 6cm
Folosind teorema lui pitagora in triunghiul NCC’ =>NC²=NC’²=CC’²=2²+(4√2)²=36=>NC = √36=6
Perimetrul trapezului BCMN= MN +MB+BC+CN=2+ 6+ 4+ 6 = 18 cm.
c)Trasam {P}, {Q}, {R} mijloc de MN, BC respectic B’C’=> RQ⊥BC(1)
In triunghiul A’B’C’, AR este inaltime, P apartine MN(linie mijlocie), P apartine A’R => PB = l√3/2 * 1/2 = 4√3 : 4 =√3
Daca PR⊥(BCC’) ; RQ⊥BC ; RQ, BC ⊂(BCC’) si RQ ∩ BC = {Q}=>folosind teorema celor 3 perpendiculare ca PQ⊥BC(2)
Muchia comuna a planelor (BCC’) si (MBC) este BC ,RQ⊥BC(1), PQ⊥BC(2) ; RQ, BC apartin planului (BCC’) ; PQ, BC aprtin planului (MBC), punctul de intersectie al segmentelor RQ , BC, PQ este {Q}=> folosind formula unghiului diedru, unghiul format de planul (BCC’) cu planul (MBC) = ∠(PQR).
In triunghiul PQR, masura unghiului ∠(R)= 90° => tg(∠PQR)=PR/QR= √3/4√2=√6/8.
@
